溢出判别#

什么是溢出？#

补码加减运算的结果超出了给定位数能表示的范围。溢出只对带符号数有意义——无符号数超出范围叫”进位/借位”（看 CF），不叫溢出。

溢出发生的四种情况#

仅有以下四种情况会产生溢出：

#	运算	说明
①	正数 + 正数 = 负数	两个正数相加，结果符号位变 1
②	负数 + 负数 = 正数	两个负数相加，结果符号位变 0
③	正数 − 负数 = 负数	正数减负数，结果符号位变 1
④	负数 − 正数 = 正数	负数减正数，结果符号位变 0

①和②互为镜像（加法溢出），③和④互为镜像（减法溢出）。

溢出判别方法#

方法一：采用一位符号位 + 进位判断#

设 $C_s$ （= $C_n$ ）为符号位的进位， $C_1$ （= $C_{n-1}$ ）为最高数据位的进位：

$C_s$	$C_1$	溢出？
0	0	无溢出
0	1	溢出
1	0	溢出
1	1	无溢出

逻辑表达式：

OF = C_s \oplus C_1 = C_n \oplus C_{n-1}

两个进位相同时无溢出，不同时溢出。这是硬件最简单的实现方式。

方法二：双符号位法#

给结果设置两个符号位 $S_{s1}$ 和 $S_{s2}$ ， $S_{s1}$ （最高位）代表真正的符号。

$S_{s1}S_{s2}$	含义
`00`	结果为正数，无溢出
`01`	正溢出（两个正数相加溢出）
`10`	负溢出（两个负数相加溢出）
`11`	结果为负数，无溢出

判断规则：两个符号位相同则无溢出，不同则有溢出。

两种方法本质等价——双符号位中的 $S_{s2}$ 就是单符号位法中的 $C_1$ 。

溢出逻辑表达式#

设 $A_s$ 、 $B_s$ 分别为两个操作数的符号位， $S_s$ 为结果的符号位：

V = A_s \cdot B_s \cdot \bar{S}_s + \bar{A}_s \cdot \bar{B}_s \cdot S_s

$A_s$	$B_s$	$S_s$	V	场景
0	0	1	1	正 + 正 = 负
1	1	0	1	负 + 负 = 正

第一项 $A_s B_s \bar{S}_s$ ：两正相加得负 → 正溢出
第二项 $\bar{A}_s \bar{B}_s S_s$ ：两负相加得正 → 负溢出
$V = 1$ 时表示溢出

其他组合（正+负、负+正）理论上有 $V=0$ ，不会产生溢出。

原码乘法#

算法原理#

n 位原码乘法：被乘数 $X$ ，乘数 $Y$ 。符号位单独处理（异或），数值部分按绝对值做无符号乘法。

核心循环：重复 n 轮「判断 + 加法 + 右移」：

Y 的最低位	操作
1	加上被乘数，右移
0	加上 0，右移

寄存器与流程#

使用三个寄存器：乘积寄存器 P、乘数寄存器 Y、进位位 C。

1
    C │     P      │     Y
2
   ───┼────────────┼──────────
3
    0 │  0000      │  1011     ← 初始状态（X = 0.1101, Y = 0.1011）

每一轮：

判断 Y 的最低位
加法 P = P + (判断结果)
右移 {C, P, Y} 整体右移一位，Y 移出的位丢弃，P 的 LSB 进入 Y 的 MSB

示例#

$X = -0.1101$ , $Y = 0.1011$ ，求 $X \times Y$ 。

符号： $X_s \oplus Y_s = 1 \oplus 0 = 1$ （结果为负）。

数值部分（4 位无符号乘法，做 4 轮）：

轮次	P	Y	操作
初始	0000	1011	—
1	1101	1011	Y最低=1，+X(=1101)
	0110	1101	右移
2	0011	0110	Y最低=1，+X
	1001	1011	右移
3	0100	1101	Y最低=0，+0
	0010	0110	右移
4	1111	0110	Y最低=1，+X
	0111	1011	右移 ← 结束

结果：符号位 = 1，数值 = 0.0111 1011。

X \times Y = -0.10001111

每次「判断+加法」后都要把部分积更新到 P 中再做「右移」。完成 n 轮后算法结束。

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