运算部件#

加法器#

全加器（Full Adder, FA）#

一位全加器有三个输入、两个输出：

信号	含义
$A_i$	被加数的第 i 位
$B_i$	加数的第 i 位
$C_{i-1}$	低位传来的进位（carry in）
$S_i$	本位和（sum）
$C_i$	向高位的进位（carry out）

逻辑表达式#

S_i = A_i \oplus B_i \oplus C_{i-1}

C_i = (A_i \oplus B_i)\,C_{i-1} + A_i B_i

示例#

$A_i = 1$ , $B_i = 0$ , $C_{i-1} = 0$ （无进位）：

S_i = 1 \oplus 0 \oplus 0 = 1, \qquad C_i = (1 \oplus 0) \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0

结果：和为 1，进位为 0 ✓

串行进位加法器（Serial Carry Adder）#

将 n 个一位全加器首尾相连，就得到了 n 位串行进位加法器——实质上就是做二进制加法。

1
     A_n B_n          A_2 B_2          A_1 B_1
2
       │  │              │  │              │  │
3
    ┌──┴──┴──┐       ┌──┴──┴──┐       ┌──┴──┴──┐
4
C_n─┤  FA    ├─...──C_2┤  FA    ├─C_1───┤  FA    ├──C_0
5
    └────┬────┘       └────┬────┘       └────┬────┘
6
         S_n                S_2               S_1

每一位的进位必须等待低位计算完成，因此延迟随位数线性增长。

计算示例#

1
     1 1 0 1    (13)
2
  +  0 1 0 1    ( 5)
3
  ───────────
4
  = 1 0 0 1 0  (18)

黄色位表示进位链传播的过程。

进位前瞻（Carry Lookahead）#

串行进位的瓶颈在于： $C_i$ 必须等 $C_{i-1}$ 算完。进位前瞻的思路是用组合逻辑直接算出每一位的进位，无需等待。

定义两个中间信号：

信号	公式	含义
进位生成 $G_i$	$G_i = A_i B_i$	本位自己就能产生进位
进位传播 $P_i$	$P_i = A_i \oplus B_i$	低位进位能从本位”穿过去”

则进位递推公式：

C_i = G_i + P_i \cdot C_{i-1}

展开到 $C_0$ 后，所有进位可在 3 级门延迟内同时算出：

\begin{aligned} C_1 &= G_1 + P_1 C_0 \\ C_2 &= G_2 + P_2 C_1 = G_2 + P_2 G_1 + P_2 P_1 C_0 \\ C_3 &= G_3 + P_3 C_2 = G_3 + P_3 G_2 + P_3 P_2 G_1 + P_3 P_2 P_1 C_0 \\ C_4 &= G_4 + P_4 C_3 = G_4 + P_4 G_3 + P_4 P_3 G_2 + P_4 P_3 P_2 G_1 + P_4 P_3 P_2 P_1 C_0 \end{aligned}

结论： $C_i$ 只取决于 $A$ 和 $B$ 的第 1 位到第 i 位以及 $C_0$ ，与中间进位无关。

带标志加法器#

加法器在输出结果的同时，还生成四个标志位（flag），供条件分支等指令使用：

1
              ┌─────────────────────┐
2
              │   OF   SF   ZF   CF │  ← 标志输出
3
              ├─────────────────────┤
4
     A ──────→│                     │──────→ F (n位和)
5
     B ──────→│      加法器         │
6
  Cin ──────→│                     │──────→ Cout
7
              └─────────────────────┘

标志	名称	含义
OF	Overflow Flag	溢出标志， $OF = C_n \oplus C_{n-1}$
SF	Sign Flag	符号标志，结果的最高位
ZF	Zero Flag	零标志，结果为 0 时置 1
CF	Carry Flag	进位标志，最高位向上进位

其中 $C_n$ 为最高位（符号位）进位， $C_{n-1}$ 为次高位进位。

OF 仅对带符号数运算有效。无符号数用 CF 判断溢出。

算术逻辑单元（ALU）#

ALU 是 CPU 的核心运算部件，根据控制信号选择不同的运算功能。

1
              ┌──────────────────────────┐
2
              │  OF   SF   ZF   CF       │  ← 标志
3
              ├──────────────────────────┤
4
     A ──────→│                          │──────→ F (n位结果)
5
     B ──────→│          ALU             │
6
  Cin ──────→│                          │──────→ Cout
7
ALUop ──────→│                          │  (s位操作选择)
8
              └──────────────────────────┘

端口	方向	说明
A, B	输入	n 位操作数
Cin	输入	进位输入
ALUop	输入	s 位操作控制端，决定执行什么功能（加/减/与/或/非等）
F	输出	n 位计算结果
Cout	输出	进位输出
OF, SF, ZF, CF	输出	状态标志

音乐

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